CUARTO BIMESTRE*
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. El cateto opuesto es el que se encuentra opuesto a la Hipotenusa y por lo general siempre se muestra como lado vertical.
La suma de sus angulos es igual a 180 grados
HIPOTENUSA H
CATETO OPUESTO C.O
CATETO ADYACENTE C.A
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente
4.3 Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
4.2 Teorema de pitagoras
BLOQUE 4
4º BIMESTRE
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
*Es decir: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa...
3.5.relaciones funcionales no lineales
FEBRERO BLOQUE 3.*
*Relación funcional: cuando existe una relación exacta entre X e Y, es decir, a cada valor de X le corresponde un único valor de Y. Por ejemplo, en los siguientes dos diagramas de dispersión se observa una relación funcional exacta de tipo potencial y exponencial.
*Relación estadística o no lineal: cuando existe una relación no necesariamente exacta entre X e Y.
3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1.
BLOQUE 3 BIMESTRE;
*Homotecia: Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación.
-Homotecia directa y homotecia inversa
En una homotecia de centro el punto O y razón k:
Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.
EJEMPLOS:
Se llama producto de las homotecias H(C, k) y H' (C' ,k' ) a la aplicación compuesta de ambas aplicaciones: H' (C', k' ) o H(C, k)
El producto de dos homotecias del mismo centro C es otra homotecia de centro C, y razón, el producto de las razones, esto es
H' (C, k' ) o H(C, k) = H1(C, kk' )
El producto de dos homotecias de distinto centro es o bien otra homotecia, cuyo centro está alineado con los centros de las homotecias dadas y de razón el producto de las razones de dichas homotecias.
H´(C´,k´) o H(C, k)=H1(C1, kk´),
o bien una traslación cuyo vector de traslación es paralelo a la línea de los centros
H´(C´,k´) o H(C, k)= Tu
3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.
ENERO TERCER BLOQUE
1.- EL DIBUJO CORRESPONDE A UN PORTON HECHO POR UN HERRERO, SU AYUDANTE DICE QUE EXISTE RELACION ENTRE LOS SEGMENTOS “ED”, “DC”, “CB”, Y “BA” DE LA BARRA REFORZADORA Y LA MEDIDA DEL ANCHO DE CADA LAMINA QUE FORMA EL PORTON; ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos?
3.6 -> 3
1.8 ->X
x= 1.8 (3) = 1.5
3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.
TERCER BLOQUE ENERO.
Formula general usando la forma “ax²+bx+c=0”
Donde “a” representa al valor al lado izquierdo de la “x²”, “b” representa el calor al lado izquierdo de la “x” y “c” representa el término independiente.
Nota: En toda ecuación de segundo grado la característica principal es que su exponente mayor es 2.
3.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos la presencia de cantidades que varían una en función de la otra*
TERCER BIMESTRE; ENERO
1.- Se tiene un recipiente de agua a una temperatura de 40ºC. El agua se calienta de tal manera que si temperatura aumenta 5ºC por minuto. De acuerdo con esta información se elaboro la siguiente tabla en donde se representa el tiempo y la temperatura.
a) A que minuto llegara a los 80ºC? 8 Minutos
b) A que minuto hervira el agua? 12 Minutos
2.5. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.
DICIEMBRE; 2 BIIMESTRE*
Índice: El índice de una base de datos es una estructura de datos que mejora la velocidad de las operaciones, permitiendo un rápido acceso a los registros de una tabla. Los índices se sacan principalmente de encuestas masivas, y de ellas se saca su promedio, que es lo mismo que el índice.
*Un periódico de circulación Nacional realizó una encuesta para medir el índice de calidad de vida de 37 lugares de la republica. Los resultados de algunas ciudades fueron los siguientes:
a) ¿Qué cuidad tuvo el índice más alto?
COLIMA
b) ¿Qué significa que esta ciudad ocupe el primer lugar?
TIENE LA MEJOR CALIDAD DE VIDA
c) ¿Cuál ocupa el último lugar?
DISTRITO FEREAL
2.4. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
Bloque 2, Diciembre
Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos, ya que si tienen igual uno de los ángulos agudos, como ambos tienen también un ángulo recto, tendrán dos ángulos iguales.
Una aplicación directa de este criterio es que, en todo triángulo rectángulo, cualquier triángulo obtenido trazando una recta perpendicular sobre uno de sus lados, es semejante al primero.
A B C △ y A ′ B C ′ △ son semejantes
En particular, si trazamos la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes al primero.
Cada uno de los triángulos obtenidos es semejante al original, pues tienen un ángulo agudo común y son rectángulos. A partir de este resultado, y con ayuda del teorema de Pitágoras, se pueden demostrar el teorema del cateto y el teorema de la altura.
Cálculo de distancias
Las propiedades de semejanza se utilizan frecuentemente para calcular distancias en puntos inaccesibles.
Cálculo de distancias
Las propiedades de semejanza se utilizan frecuentemente para calcular distancias en puntos inaccesibles.
2.3. Determinar los criterios de semejanza de triángulos.
Bloque 2, Noviembre
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:
Criterios de Semejanza de Triángulos
I. Primer criterio
Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.
A partir de este triángulo puedes obtener triángulos semejantes al original arrastrando el punto C o jugando con los valores de la escala. Observa que la medida de los ángulos, a pesar de todo, permanece constante.
1.- Observa el valor de los ángulos de estos dos triángulos superpuestos.
(Los matemáticos dicen de esta singular forma de superponer triángulos que están en posición de Tales, en honor al sabio griego Tales de Mileto)
2.- Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º.
3.- Triángulos equiláteros son aquellos que tienen sus ángulos y lados iguales, como el que ves en esta escena. Puedes variar su tamaño como hiciste en la anterior escena.
II. Segundo criterio
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.
El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza.
4.- Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza.
III. Tercer criterio
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
De nuevo tienes aquí dos triángulos en posición de Tales.
2.2 Ecuaciones cuadraticas y su solucion mediante factorización
Bloque 2, Noviembre
La ecuación cuadratica es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.
Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
a) Por factorización:
x2 +7x = -10 se puede escribir como: x2 +7x + 10 = 0 ¿Por qué?
Regla1: Buscamos dos números que sumados den 7 y multiplicados den 10
Tales números son: 5 y 2, por lo tanto (x+2)(x+5) = 0 Favor de comprobarlo
Regla2: Si el producto de dos factores es cero, uno de los dos (o los dos), deben ser cero.
Por lo tanto x+2 = 0 -> x1 = -2 ;
x+5 = 0 -> x2= -5 ;
Ahora se comprueba cada valor hallado sustituyendo en la ecuación original:
x2 +7x = -10 x2 +7x = -10
(-2)2 + 7(-2) = -10 (-5)2 + 7(-5) = -10
4 - 14 = -10 25 - 35 = -10
-10 = -10 -10 = -10
b) Para resolver por la fórmula, se escribe la ecuación dada como: x2 +7x + 10 = 0
Una vez que la ecuación se escribe en esta forma, sabemos que a=1; b=7; c=10
El siguiente paso es aplicar la fórmula y luego comprobar.
2.1 Ecuaciones no lineales para resolver procedimientos personales u operaciones inversas
Bloque 2, Noviembre
Las ecuaciones no lineales representan ecuacionss cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de ecuaciones no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es una ecuacion lineal.
Ejemplo:
1) El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220 ¿Cuál es dicho numero?
n² - 5 = 220 220 + 5 = 225 √225 = 15
2) El cuadrado de un número mas el mismo numero es igual a 306 ¿a que número se refiere?
n² + n = 306 si n es a 17 306 – 17 =289 √289 = 17
3)El producto de dos números consecutivos es 552, ¿Cuáles son esos números?
(n) (n+1) = 552 √552 = 23.5 (23) (24) = 552
4)El cuadrado de un número menos el doble del mismo número, es igual a 24, ¿Cuál es ese número?
n² - 2n = 24 n² = 24 ¬+ 2n 6² = 24 ¬+ 2(6) 36= 24 + 12
5) El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?
n² = 8n n² - 8n = 0 n = 8 8² = 8(8) 64 = 64
6)El parque de una colonia esta ubicado en un terreno cuadrado, una parte cuadrada del terrono de 50 m por lado se ocupara como estacionamieno y el resro es el jardin can 14, 400 m² calculen cuanto mide por lado todo el terreno:
x² = 50)(50)¬¬+14,400
x = √(50)(50)¬¬+14,400
x² = 14,400 m² + 2500 m²
x² = 16, 900 m²
x² = √ 16, 900 m²
x = 130 m
1.6 Razon de cambio o calculo diferencial
Bloque 1, Octubre 
En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el mínimo o máximo valor, como aumenta o disminuye ese valor, en un intervalo de tiempo específico.
La razon de cambio es la velocidad a la que cambia una ecuacion, para obeterne la razon de cambio es necesario derivar la funcion, la misma ecuacion hace refereancia a la razon de cambio es decir a la velocidad, ahora solo tienes que sustitur la variable con el valor en donde quieras saber a que velocidad esta cambiando la funcion original.
Ejemplo:
¿Cuál es la razón de cambio?
1800- 1200 = 600 = 300
5 - 3 2
1200- 600 = 600 = 300
3 - 1 2
1800- 600 = 1200 = 300
5- 1 4
Medidas de Ángulos, Arcos, Sectores Circulares y de la Corona*
Octubre; Primer Bimestre.
Ángulos Centrales e Inscritos;
La relación entre estos dos ángulos es muy simple, ya que el ángulo inscrito es la mitad de la longitud del ángulo central, y viceversa.
Medidas de Arcos;
Con la Fórmula de la circunferencia del circulo, podemos saber la medida de un pedazo de ella, es decir, de un arco.
P (Perímetro) π (PI) D (Diámetro) R (Radio)
*Un perro está atado a un corral de forma cuadrada, cuyas medidas son 5 metros por lado; el largo de la cuerda amarrada al perro es de 3 metros. Así como se muestra en la siguiente imagen:
Si queremos obtener la longitud del arco que se forma cuando la cuerda estirada totalmente y el perro gira de un lado del corral al otro, utilizaremos la formula del perímetro del circulo: π(D)/2. Tenemos los siguientes datos:
π = 3.14
Radio = 3 m
Diámetro es igual al doble del radio por lo que D = 6 m
Multiplicaremos: π (D) = 3.14 (6) = 18.84 y esto lo dividimos entre dos = 9.42
Y así obtenemos la medida total del círculo, pero lo que necesitamos saber es solo una parte de este, es decir, el arco. Al colocar el círculo donde debería ir, podemos observar que solo se le quita 1/4 de la longitud total. Finalmente solo tenemos que quitarle un cuarto a 9.42 para saber la medida de los otros 3/4.
-Nota: 0.75, es la representación numérica del 100% de la longitud total
Multiplicaremos ahora: 9.42 (0.75) = 7.065.
Entonces la medida del arco es igual a : 7.065 metros de longitud.
Sectores Circulares;
Encontraremos el área de sectores circulares, dentro de otra circunferencia, como la imagen que se muestra en seguida:
Primero sacaremos el área del circulo entero del centro:
PI(R2) = 3.14 (10)2 = 3.14 (100) = 314 m2
Después sacaremos el área, sólo del sector "A"; para esto ocupamos el area total, y restarle lo que abarca el circulo de el medio, que ya sabemos que es 157m2.
PI(R2) = 3.14 (15)2 = 3.14 (225) = 706.5
"A" = 706.5 - 314 = 392.5 m2
Igualmente será para el sector "B":
PI (R2) = 3.14 (20)2 = 3.14 (400) = 1256
Para "B", tenemos que restar el área total menos el área total del círculo del sector "A":
"B" = 1256 - 706.5 = 549.5 m2
Y finalmente para "C" es el mismo procedimiento que para "B" solo cambiando los valores variantes:
PI (R2) = 3.14 (25)2 = 3.14 (625) = 1962.5 m2
"C" = 1962.5 - 1256 = 706.5 m2
Ángulo Central e Inscrito*
Bloque 1; Septiembre, Primer Bimestre. Ángulo central; si tiene su vértice en el centro de ésta. Es igual al doble del angulo inscrito. Ángulo inscrito; si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del angulo central.
Rectas Secante y Tangente*
DEFINICIONES;
Secante: La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos.
Tangente: es aquella que solo tiene un punto en común con una circunferencia, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia.
Congruencia de los Triángulos
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados de igual medida o congruentes.
Criterios de congruencia;
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:
- Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro.
- Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo.
- Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo.
Ejemplos:
-Congruencia LLL:
:
-Congruencia LAL:
-Congruencia ALA:
Efectuar Expresiones Algebraicas como Binomio al Cuadrado, Con Término Común y Conjugados*
> Binomio al cuadrado;*
-Se eleva al cuadrado el primer término:
(X+4)²
-Se multiplica el primer término por el segundo y se duplica esa cantidad:
(X+4)² = X² + 8x
-Elevar al cuadrado el segundo término:
(X+4)² = X² + 8x + 16
> Binomio Con Término Común;*
- Se multiplica el primero término por el primer término del segundo factor:
(X+4) (X+3) = X²
- Se multiplica el primer término por el segundo término del segundo factor:
(X+4) (X+3) = X² + 3x
-Se multiplica el segundo término del primer factor por el primero del segundo:
(X+4) (X+3) = X² + 3x + 4x
-Se multiplican los dos segundos términos de los dos factores:
(X+4) (X+3) = X² + 3x + 4x + 12
-Finalmente se suman los dos términos comunes, en este caso (3x+4x= 7x):
(X+4) (X+3) = X² + 3x + 4x + 12
X² + 7x +12
> Binomio Conjugado;*
-Se multiplica el primer término por el primero del otro factor:
(X+5) (X-5) = X²
-Se multiplican los dos segundos términos de ambos factores:
(X+5) (X-5) = X² - 25
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